วิธีการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ

เนื้อหา

• เมทริกซ์, ค่าลักษณะเฉพาะและ Eigenvector: ความหมาย
• วิธีการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ
• เคล็ดลับ
• การหาไอเก็น

เมื่อคุณแสดงเมทริกซ์ในคลาสคณิตศาสตร์หรือฟิสิกส์คุณจะถูกขอให้ค้นหาค่าลักษณะเฉพาะของมัน หากคุณไม่แน่ใจว่าสิ่งนั้นหมายถึงหรือวิธีการทำงานนั้นเป็นเรื่องที่น่ากังวลและมันเกี่ยวข้องกับคำศัพท์ที่สับสนจำนวนมากซึ่งทำให้เรื่องแย่ลงไปอีก อย่างไรก็ตามกระบวนการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะนั้นไม่ท้าทายเกินไปหากคุณพอใจกับการแก้สมการกำลังสอง (หรือพหุนาม) ให้คุณเรียนรู้พื้นฐานของเมทริกซ์ค่าลักษณะเฉพาะและค่าเฉพาะ

เมทริกซ์, ค่าลักษณะเฉพาะและ Eigenvector: ความหมาย

เมทริกซ์คืออาร์เรย์ของตัวเลขโดยที่ A ย่อมาจากชื่อของเมทริกซ์ทั่วไปเช่นนี้

( 1 3 )

= ( 4 2 )

ตัวเลขในแต่ละตำแหน่งแตกต่างกันไปและอาจมีการแสดงออกเกี่ยวกับพีชคณิตในสถานที่ของพวกเขา นี่คือเมทริกซ์ 2 × 2 แต่มีหลายขนาดและไม่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากันเสมอ

การจัดการกับเมทริกซ์นั้นแตกต่างจากการจัดการกับจำนวนสามัญและมีกฎเฉพาะสำหรับการคูณหารหารบวกและลบออกจากกัน คำว่า "eigenvalue" และ "eigenvector" ถูกใช้ในพีชคณิตเมทริกซ์เพื่ออ้างถึงปริมาณสองลักษณะที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะนี้ช่วยให้คุณเข้าใจความหมายของคำว่า:

∙ โวลต์ = λ ∙ โวลต์

เป็นเมทริกซ์ทั่วไปเหมือนเมื่อก่อน โวลต์ คือเวกเตอร์บางตัวและλคือค่าคุณลักษณะ ดูสมการและสังเกตว่าเมื่อคุณคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์ โวลต์เอฟเฟกต์คือการทำซ้ำเวกเตอร์เดียวกันโดยคูณด้วยค่าλ นี่เป็นพฤติกรรมที่ผิดปกติและได้รับเวกเตอร์ โวลต์ และปริมาณ names ชื่อพิเศษ: eigenvector และ eigenvalue นี่คือค่าคุณลักษณะของเมทริกซ์เนื่องจากการคูณเมทริกซ์โดย eigenvector ทำให้เวกเตอร์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการคูณด้วยปัจจัยของค่าลักษณะเฉพาะ

วิธีการคำนวณค่าลักษณะเฉพาะ

หากคุณมีปัญหาค่าลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ในบางรูปแบบการหาค่าลักษณะเฉพาะนั้นเป็นเรื่องง่าย (เพราะผลลัพธ์จะเป็นเวกเตอร์เหมือนกันกับค่าดั้งเดิมยกเว้นการคูณด้วยปัจจัยคงที่ - ค่าลักษณะเฉพาะ) คำตอบคือการแก้สมการลักษณะของเมทริกซ์:

เดชอุดม ( – λผม) = 0

ที่ไหน ผม คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งว่างเปล่านอกเหนือจากชุดของ 1s ที่วิ่งตามแนวทแยงมุมลงเมทริกซ์ “ Det” หมายถึงดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งสำหรับเมทริกซ์ทั่วไป:

(a b)

= (c d)

ได้รับจาก

เดชอุดม = ad –bc

ดังนั้นสมการลักษณะหมายถึง:

(a - λ b)

เดชอุดม ( – λผม) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0

ในฐานะเมทริกซ์ตัวอย่างเรามานิยาม เช่น:

( 0 1 )

= (−2 −3 )

ดังนั้นหมายความว่า:

เดชอุดม ( – λผม) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0

= −λ (−3 – λ) + 2

= λ² + 3 λ + 2 = 0

คำตอบสำหรับλคือค่าลักษณะเฉพาะและคุณแก้ปัญหานี้เหมือนกับสมการกำลังสองใด ๆ วิธีแก้ไขคือλ = - 1 และλ = - 2

เคล็ดลับ

การหาไอเก็น

การหา eigenvectors เป็นกระบวนการที่คล้ายกัน ใช้สมการ:

( – λ) ∙ โวลต์ = 0

ด้วยค่าลักษณะเฉพาะแต่ละอย่างที่คุณพบ หมายความว่า:

(a - λ b) (v₁ ) (a - λ) v₁ + b v₂ (0)

( – λ) ∙ โวลต์ = (c d - λ) ∙ (v₂ ) = c v₁ + (d - λ) v₂ = (0)

คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยพิจารณาแต่ละแถว คุณต้องการเพียงอัตราส่วนของ โวลต์₁ ไปยัง โวลต์₂เพราะจะมีทางออกที่เป็นไปได้มากมายสำหรับ โวลต์₁ และ โวลต์₂.