วิธีหารากของพหุนาม

เนื้อหา

• รากหลายวิธี
• คำเตือน
• ค้นหารูทด้วยแฟคตอริ่ง: ตัวอย่างที่ 1
• ค้นหารูทด้วยแฟคตอริ่ง: ตัวอย่างที่ 2
• ค้นหารากด้วยกราฟ

รากของพหุนามเรียกอีกอย่างว่าเลขศูนย์เพราะรากคือ x ค่าที่ฟังก์ชันเท่ากับศูนย์ เมื่อพูดถึงการค้นหารากคุณมีเทคนิคหลายอย่างตามที่คุณต้องการ แฟคตอริ่งเป็นวิธีที่คุณจะใช้บ่อยที่สุดแม้ว่ากราฟจะมีประโยชน์เช่นกัน

รากหลายวิธี

ตรวจสอบเทอมพหุนามระดับสูงสุดซึ่งก็คือเทอมที่มีเลขชี้กำลังสูงสุด เลขชี้กำลังนั้นคือจำนวนรากของพหุนามที่มี ดังนั้นถ้าเลขชี้กำลังสูงสุดในพหุนามของคุณคือ 2 มันก็จะมีสองราก ถ้าเลขชี้กำลังสูงสุดคือ 3 มันจะมีสามรูท และอื่น ๆ

คำเตือน

ค้นหารูทด้วยแฟคตอริ่ง: ตัวอย่างที่ 1

วิธีที่หลากหลายที่สุดในการค้นหารูตคือการหาพหุนามให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้แล้วกำหนดแต่ละเทอมเท่ากับศูนย์ ซึ่งจะช่วยให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นเมื่อคุณติดตามตัวอย่างบางส่วน พิจารณาพหุนามอย่างง่าย x² - 4_x: _

การสอบสั้น ๆ แสดงให้เห็นว่าคุณสามารถแยกตัวประกอบ x จากพหุนามทั้งสองซึ่งให้คุณ:

x(x – 4)

ตั้งค่าแต่ละเทอมเป็นศูนย์ นั่นหมายถึงการแก้สมการสองสมการ:

x = 0 เป็นคำแรกที่ตั้งค่าเป็นศูนย์และ

x - 4 = 0 คือคำที่สองตั้งค่าเป็นศูนย์

คุณมีคำตอบสำหรับคำแรกแล้ว ถ้า x = 0 ดังนั้นนิพจน์ทั้งหมดเท่ากับศูนย์ ดังนั้น x = 0 คือหนึ่งในรากหรือศูนย์ของพหุนาม

ตอนนี้พิจารณาเทอมที่สองและแก้หา x. หากคุณเพิ่ม 4 ทั้งสองข้างคุณจะมี:

x - 4 + 4 = 0 + 4 ซึ่งง่ายต่อการ:

x = 4 ดังนั้นถ้า x = 4 แล้วปัจจัยที่สองเท่ากับศูนย์ซึ่งหมายความว่าพหุนามทั้งหมดเท่ากับศูนย์ด้วย

เนื่องจากพหุนามดั้งเดิมอยู่ในระดับที่สอง (เลขชี้กำลังสูงสุดคือสอง) คุณรู้ว่ามีเพียงสองรากที่เป็นไปได้สำหรับพหุนามนี้ คุณพบทั้งคู่แล้วดังนั้นสิ่งที่คุณต้องทำคือทำรายการ:

x = 0, x = 4

ค้นหารูทด้วยแฟคตอริ่ง: ตัวอย่างที่ 2

นี่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของวิธีการค้นหารากด้วยแฟคตอริ่งโดยใช้พีชคณิตแฟนซีไปพร้อมกัน พิจารณาพหุนาม x⁴ - 16. การดูอย่างรวดเร็วของเลขชี้กำลังนั้นแสดงให้คุณเห็นว่าควรมีรากที่สี่สำหรับพหุนามนี้ ตอนนี้ถึงเวลาที่จะหาพวกเขา

คุณสังเกตเห็นไหมว่าพหุนามนี้สามารถเขียนใหม่เป็นความแตกต่างของกำลังสองได้? ดังนั้นแทนที่จะ x⁴ - 16 คุณมี:

(x²)² – 4²

ซึ่งการใช้สูตรสำหรับความแตกต่างของกำลังสองจะพิจารณาปัจจัยต่อไปนี้:

(x² – 4)(x² + 4)

เทอมแรกคือความแตกต่างของกำลังสองอีกครั้ง ดังนั้นแม้ว่าคุณไม่สามารถแยกคำทางด้านขวาออกไปได้อีก แต่คุณสามารถแยกคำทางด้านซ้ายหนึ่งก้าวออกไปอีกหนึ่งขั้น:

(x – 2)(x + 2)(x² + 4)

ตอนนี้ถึงเวลาที่จะหาศูนย์ มันจะกลายเป็นชัดเจนว่าถ้า x = 2 ปัจจัยแรกจะเท่ากับศูนย์และการแสดงออกทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์

ในทำนองเดียวกันถ้า x = -2, ปัจจัยที่สองจะเท่ากับศูนย์และดังนั้นการแสดงออกทั้งหมด

ดังนั้น x = 2 และ x = -2 เป็นทั้งศูนย์หรือรากของพหุนามนี้

แต่แล้วเทอมสุดท้ายล่ะ? เนื่องจากมันมีเลขชี้กำลัง "2" จึงควรมีสองราก แต่คุณไม่สามารถคำนึงถึงการแสดงออกนี้โดยใช้จำนวนจริงที่คุณเคยใช้ คุณต้องใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ขั้นสูงมากที่เรียกว่าตัวเลขในจินตนาการหรือหากคุณต้องการตัวเลขที่ซับซ้อน มันเกินขอบเขตของการฝึกฝนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันของคุณดังนั้นในตอนนี้มันก็เพียงพอแล้วที่จะทราบว่าคุณมีรากที่แท้จริงสอง (2 และ -2) และรากสองจินตภาพที่คุณจะไม่ได้กำหนด

ค้นหารากด้วยกราฟ

นอกจากนี้คุณยังสามารถค้นหาหรืออย่างน้อยการประมาณรากโดยกราฟ ทุกรากแสดงถึงจุดที่กราฟของฟังก์ชันตัดกัน x แกน. ดังนั้นถ้าคุณวาดกราฟเส้นแล้วก็สังเกต x พิกัดที่เส้นตัดผ่าน x แกนคุณสามารถแทรกการประมาณ x ค่าของคะแนนเหล่านั้นในสมการของคุณและตรวจสอบเพื่อดูว่าคุณได้แก้ไขให้ถูกต้องหรือไม่

ลองพิจารณาตัวอย่างแรกที่คุณทำงานเพื่อพหุนาม x² - 4_x_ หากคุณวาดมันออกมาอย่างระมัดระวังคุณจะเห็นว่าเส้นตัดกัน x แกนที่ x = 0 และ x = 4. ถ้าคุณป้อนค่าเหล่านี้ลงในสมการดั้งเดิมคุณจะได้:

0² - 4 (0) = 0 ดังนั้น x = 0 เป็นศูนย์หรือรูตที่ถูกต้องสำหรับพหุนาม

4² - 4 (4) = 0 ดังนั้น x = 4 ยังเป็นศูนย์หรือรูตที่ใช้ได้สำหรับพหุนามนี้ และเนื่องจากพหุนามมีระดับ 2 คุณรู้ว่าคุณสามารถหยุดมองหารากสองอันได้