วิธีลดความซับซ้อนของจำนวนเชิงซ้อน

เนื้อหา

• TL; DR (ยาวเกินไปไม่ได้อ่าน)
• จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร
• กฎพื้นฐานสำหรับพีชคณิตที่มีจำนวนเชิงซ้อน
• การหารจำนวนเชิงซ้อน
• ลดความซับซ้อนของตัวเลขที่ซับซ้อน

พีชคณิตมักเกี่ยวข้องกับการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น แต่การแสดงออกบางอย่างมีความสับสนมากกว่าที่จะจัดการกับคนอื่น ตัวเลขที่ซับซ้อนเกี่ยวข้องกับปริมาณที่เรียกว่า ผมหมายเลข“ จินตภาพ” ที่มีอยู่ ผม = √ − 1 หากคุณต้องแสดงออกอย่างง่ายดายเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนมันอาจดูน่ากลัว แต่เป็นกระบวนการที่ค่อนข้างง่ายเมื่อคุณเรียนรู้กฎพื้นฐาน

TL; DR (ยาวเกินไปไม่ได้อ่าน)

ลดความซับซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนโดยทำตามกฎของพีชคณิตด้วยจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนคืออะไร

จำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดโดยการรวมของ ผม เทอมซึ่งเป็นสแควร์รูทของลบหนึ่ง ในคณิตศาสตร์ระดับพื้นฐานรากที่สองของจำนวนลบไม่มีอยู่จริง แต่บางครั้งพวกเขาก็แสดงให้เห็นในปัญหาพีชคณิต แบบฟอร์มทั่วไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อนแสดงโครงสร้าง:

Z = + สอง

ที่ไหน Z ระบุจำนวนเชิงซ้อน แสดงถึงหมายเลขใด ๆ (เรียกว่าส่วน "ของจริง") และ ข แสดงถึงหมายเลขอื่น (เรียกว่าส่วน "จินตภาพ") ซึ่งทั้งสองสามารถบวกหรือลบได้ ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนตัวอย่างคือ:

Z = 2 −4_i_

เนื่องจากรากที่สองของจำนวนลบทั้งหมดสามารถถูกแทนด้วยทวีคูณของ ผมนี่คือรูปแบบของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมด ในทางเทคนิคแล้วหมายเลขปกติจะอธิบายกรณีพิเศษของจำนวนเชิงซ้อนที่ ข = 0 ดังนั้นตัวเลขทั้งหมดจึงถือว่าซับซ้อน

กฎพื้นฐานสำหรับพีชคณิตที่มีจำนวนเชิงซ้อน

ในการเพิ่มและลบจำนวนเชิงซ้อนเพียงเพิ่มหรือลบส่วนจริงและจินตภาพแยกกัน ดังนั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อน Z = 2 - 4_i_ และ W = 3 + 5_i_ ผลรวมคือ:

Z + W = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)ผม

= 5 + 1_i_ = 5 + ผม

การลบจำนวนทำงานในลักษณะเดียวกัน:

Z − W = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)ผม

= −1 - 9_i_

การคูณเป็นการดำเนินการอย่างง่ายอื่นที่มีจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากมันทำงานเหมือนกับการคูณปกติยกเว้นว่าคุณต้องจำไว้ ผม² = −1 ดังนั้นในการคำนวณ 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

แต่ตั้งแต่ ผม²= −1 จากนั้น:

-12_i_² = −12 ×−1 = 12

ด้วยจำนวนเชิงซ้อนเต็ม (ใช้ Z = 2 - 4_i_ และ W = 3 + 5_i_ อีกครั้งคุณคูณมันด้วยวิธีเดียวกับที่คุณใช้กับเลขธรรมดาเช่น ( + ข) (ค + d) โดยใช้วิธี“ แรก, ภายใน, ภายนอก, สุดท้าย” (FOIL) เพื่อให้ ( + ข) (ค + d) = ไฟฟ้ากระแสสลับ + ก่อนคริสต์ศักราช + การโฆษณา + BD. สิ่งที่คุณต้องจำไว้ก็คือลดความซับซ้อนของอินสแตนซ์ของ ผม². ตัวอย่างเช่น:

Z × W = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)

= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

การหารจำนวนเชิงซ้อน

การหารจำนวนเชิงซ้อนเกี่ยวข้องกับการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนโดยการรวมคอมเพล็กซ์ของตัวส่วน คอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นหมายถึงเวอร์ชันของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพกลับด้าน ดังนั้นสำหรับ Z = 2 - 4_i_, คอนจูเกตที่ซับซ้อน Z = 2 + 4_i_ และสำหรับ W = 3 + 5_i_ W = 3 −5_i_ สำหรับปัญหา:

Z / W = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

คอนจูเกตที่จำเป็นคือ W* * * * หารเศษและส่วนด้วยสิ่งนี้เพื่อให้:

Z / W = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)

และจากนั้นคุณทำงานเหมือนในส่วนก่อนหน้า ตัวเศษให้:

(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

และส่วนให้:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

หมายความว่า:

Z / W = (−14 - 22_i_) / 34

= −14/34 - 22_i_ / 34

= −7/17 - 11_i_ / 17

ลดความซับซ้อนของตัวเลขที่ซับซ้อน

ใช้กฎด้านบนตามต้องการเพื่อทำให้นิพจน์ที่ซับซ้อนง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - ผม)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ผม))

สิ่งนี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยใช้กฎการบวกในตัวเศษกฎการคูณในตัวส่วนแล้วทำการหารให้เสร็จสมบูรณ์ สำหรับตัวเศษ:

(4 + 2_i_) + (2 - ผม) = 6 + ผม

สำหรับตัวหาร:

(2 + 2_i _) (2+ ผม) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

การนำสิ่งเหล่านี้กลับมาใช้แทน:

Z = (6 + ผม) / (2 + 6_i_)

การคูณทั้งสองส่วนโดยคอนจูเกตของตัวส่วนนำไปสู่:

Z = (6 + ผม) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 −17_i_ / 20

ดังนั้นนี่หมายความว่า Z ลดความซับซ้อนดังต่อไปนี้:

Z = ((4 + 2_i_) + (2 - ผม)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ผม)) = 9/20 −17_i_ / 20