เนื้อหา
- เหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงมีความสำคัญ
- จากคู่คะแนนไปยังกราฟ
- หนึ่งจุดบนแกน X
- ไม่มีจุดบนแกน X
- ตัวอย่างจากโลกแห่งความจริง
หากคุณทราบจุดสองจุดที่ตกบนเส้นโค้งเลขชี้กำลังหนึ่งคุณสามารถกำหนดเส้นโค้งโดยการแก้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั่วไปโดยใช้จุดเหล่านั้น ในทางปฏิบัติสิ่งนี้หมายถึงการแทนที่คะแนนสำหรับ y และ x ในสมการ y = abx. ขั้นตอนนั้นง่ายกว่าถ้าค่า x สำหรับจุดใดจุดหนึ่งคือ 0 ซึ่งหมายความว่าจุดนั้นอยู่บนแกน y หากไม่มีจุดใดมีค่า x เป็นศูนย์กระบวนการในการแก้ไขสำหรับ x และ y นั้นซับซ้อนกว่าเล็กน้อย
เหตุใดฟังก์ชันเลขชี้กำลังจึงมีความสำคัญ
ระบบที่สำคัญหลายแห่งมีรูปแบบของการเติบโตและการเสื่อมสลายแบบเอกซ์โปเนนเชียล ตัวอย่างเช่นจำนวนแบคทีเรียในอาณานิคมมักจะเพิ่มขึ้นแบบเอกซ์โปเนนเชียลและการแผ่รังสีโดยรอบในบรรยากาศหลังจากเหตุการณ์นิวเคลียร์มักจะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียล ด้วยการเก็บข้อมูลและวางแผนโค้งนักวิทยาศาสตร์อยู่ในตำแหน่งที่ดีกว่าที่จะคาดการณ์
จากคู่คะแนนไปยังกราฟ
จุดใด ๆ บนกราฟสองมิติสามารถแสดงด้วยตัวเลขสองตัวซึ่งมักเขียนในรูปแบบ (x, y) โดยที่ x กำหนดระยะทางแนวนอนจากจุดกำเนิดและ y แทนระยะทางแนวตั้ง ตัวอย่างเช่นจุด (2, 3) เป็นสองหน่วยทางด้านขวาของแกน y และสามหน่วยเหนือแกน x ในทางกลับกันจุด (-2, -3) เป็นสองหน่วยทางด้านซ้ายของแกน y และสามหน่วยด้านล่างแกน x
หากคุณมีสองคะแนน (x1, y1) และ (x2, y2) คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ผ่านจุดเหล่านี้ได้โดยการแทนที่พวกมันในสมการ y = abx และการแก้สำหรับ a และ b โดยทั่วไปคุณต้องแก้สมการคู่นี้:
Y1 = abx1 และ y2 = abx2, .
ในรูปแบบนี้คณิตศาสตร์ดูซับซ้อนเล็กน้อย แต่ดูน้อยลงหลังจากคุณทำตัวอย่างสองสามตัวอย่าง
หนึ่งจุดบนแกน X
ถ้าหนึ่งในค่า x - พูด x1 - คือ 0 การดำเนินการจะง่ายมาก ตัวอย่างเช่นการแก้สมการสำหรับคะแนน (0, 2) และ (2, 4) ให้ผลตอบแทน:
2 = ab0 และ 4 = ab2. เนื่องจากเรารู้ว่าข0 = 1 สมการแรกจะกลายเป็น 2 = a การแทนที่ a ในสมการที่สองให้ผลตอบแทน 4 = 2b2ซึ่งเราทำให้ b ง่ายขึ้น2 = 2 หรือ b = รากที่สองของ 2 ซึ่งเท่ากับประมาณ 1.41 ฟังก์ชั่นการกำหนดเป็นแล้ว y = 2 (1.41)x.
ไม่มีจุดบนแกน X
หากไม่มีค่า x เป็นศูนย์การแก้สมการจะยุ่งยากกว่าเล็กน้อย Henochmath พาเราผ่านตัวอย่างง่ายๆเพื่อชี้แจงขั้นตอนนี้ ในตัวอย่างของเขาเขาเลือกคู่ของคะแนน (2, 3) และ (4, 27) นี่เป็นสมการคู่ต่อไปนี้:
27 = ab4
3 = ab2
ถ้าคุณหารสมการแรกด้วยสองคุณจะได้
9 = b2
ดังนั้น b = 3 ความเป็นไปได้ที่ b จะเท่ากับ -3 แต่ในกรณีนี้ให้ถือว่าเป็นบวก
คุณสามารถแทนที่ค่านี้สำหรับ b ในสมการใดก็ได้เพื่อให้ได้ a มันง่ายกว่าที่จะใช้สมการที่สองดังนั้น:
3 = a (3)2 ซึ่งสามารถย่อให้เหลือ 3 = a9, a = 3/9 หรือ 1/3
สมการที่ผ่านจุดเหล่านี้สามารถเขียนเป็น y = 1/3 (3)x.
ตัวอย่างจากโลกแห่งความจริง
ตั้งแต่ปีพ. ศ. 2453 การเติบโตของประชากรมนุษย์นั้นเพิ่มขึ้นอย่างมากและด้วยการวางแผนการเติบโตทางวิทยาศาสตร์ทำให้นักวิทยาศาสตร์สามารถคาดการณ์และวางแผนอนาคตได้ดีขึ้น ในปี 1910 ประชากรโลกมีจำนวน 1.75 พันล้านคนและในปี 2010 มีจำนวน 6.87 พันล้านคน รับ 2453 เป็นจุดเริ่มต้นสิ่งนี้ให้คะแนน (0, 1.75) และ (100, 6.87) เนื่องจากค่า x ของจุดแรกเป็นศูนย์เราจึงสามารถหา a
1.75 = ab0 หรือ a = 1.75 การเสียบค่านี้พร้อมกับจุดที่สองเข้ากับสมการเลขชี้กำลังทั่วไปจะสร้าง 6.87 = 1.75b100ซึ่งให้ค่า b เป็นรากที่ร้อยที่ 6.87 / 1.75 หรือ 3.93 ดังนั้นสมการจึงกลายเป็น y = 1.75 (รากที่หนึ่งร้อยที่ 3.93)x. แม้ว่าจะต้องใช้มากกว่ากฎสไลด์ก็ตามนักวิทยาศาสตร์สามารถใช้สมการนี้เพื่อคาดการณ์จำนวนประชากรในอนาคตเพื่อช่วยนักการเมืองในปัจจุบันในการสร้างนโยบายที่เหมาะสม