วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์

เนื้อหา

• นิยามของความไม่สมดุลของค่าสัมบูรณ์
• วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์
• ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์โดยไม่มีวิธีแก้ไข
• เครื่องหมายช่วงเวลา

การแก้ความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์เป็นเหมือนการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ แต่มีรายละเอียดเพิ่มเติมสองสามข้อที่ต้องคำนึงถึง มันช่วยให้คุณแก้สมการค่าสัมบูรณ์ได้อย่างสบายใจ แต่ก็ไม่เป็นไรถ้าคุณเรียนรู้พวกมันด้วยกัน!

นิยามของความไม่สมดุลของค่าสัมบูรณ์

ก่อนอื่นเลย ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์ เป็นความไม่เสมอภาคที่เกี่ยวข้องกับการแสดงออกของค่าที่แน่นอน ตัวอย่างเช่น,

| 5 + x | - 10> 6 คือความไม่เท่าเทียมกันของค่าสัมบูรณ์เนื่องจากมีเครื่องหมายอสมการ,> และการแสดงออกของค่าสัมบูรณ์ 5 + x |.

วิธีแก้ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์

ขั้นตอนในการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์ เหมือนขั้นตอนในการแก้สมการค่าสัมบูรณ์:

ขั้นตอนที่ 1: แยกการแสดงออกของค่าสัมบูรณ์ที่ด้านหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกัน

ขั้นตอนที่ 2: แก้ไข "เวอร์ชั่น" เชิงบวกของความไม่เท่าเทียมกัน

ขั้นตอนที่ 3: แก้ไข "ลบ" ของความไม่เท่าเทียมกันโดยการคูณปริมาณในอีกด้านหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันโดย −1 และพลิกสัญลักษณ์ความไม่เท่าเทียมกัน

มีอะไรให้ทำมากมายในคราวเดียวดังนั้นนี่คือตัวอย่างที่จะพาคุณก้าวผ่านไป

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันสำหรับ x: | 5 + 5_x_ | - 3> 2

เมื่อต้องการทำสิ่งนี้รับ | 5 + 5_x_ | ด้วยตัวเองทางด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกัน สิ่งที่คุณต้องทำคือเพิ่ม 3 ลงในแต่ละด้าน:

| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

| 5 + 5_x_ | > 5.

ขณะนี้มีความไม่เท่าเทียมกันสอง "รุ่น" ที่เราต้องแก้คือ: "รุ่น" บวกและรุ่น "ลบ"

สำหรับขั้นตอนนี้สมมติว่าสิ่งต่าง ๆ เป็นไปตามที่ปรากฏนั่นคือ 5 + 5_x_> 5

| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5

นี่คือความไม่เท่าเทียมที่เรียบง่าย คุณแค่ต้องแก้เพื่อ x เหมือนอย่างเคย. ลบ 5 จากทั้งสองข้างจากนั้นหารทั้งสองด้วย 5

5 + 5_x_> 5

5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (ลบห้าจากทั้งสองด้าน)

5_x_> 0

5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (หารทั้งสองด้วยห้า)

x > 0.

ไม่เลว! ดังนั้นวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับความไม่เท่าเทียมของเราคือ x > 0 ทีนี้เนื่องจากมีค่าสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องเวลาจึงพิจารณาความเป็นไปได้อื่น

เพื่อให้เข้าใจถึงบิตต่อไปนี้จะช่วยให้จดจำความหมายของค่าสัมบูรณ์ ค่าสัมบูรณ์ วัดระยะทางตัวเลขจากศูนย์ ระยะทางเป็นบวกเสมอดังนั้น 9 อยู่ห่างจากศูนย์เก้าหน่วย แต่ −9 อยู่ห่างจากศูนย์อีกเก้าหน่วย

ดังนั้น 9 | = 9 แต่ | −9 | = 9 เช่นกัน

ตอนนี้กลับไปที่ปัญหาด้านบน ผลงานข้างต้นแสดงให้เห็นว่า | 5 + 5_x_ | > 5; กล่าวอีกนัยหนึ่งค่าสัมบูรณ์ของ "บางสิ่ง" มากกว่าห้า ทีนี้, จำนวนบวกใด ๆ ที่มากกว่าห้าจะได้อยู่ห่างจากศูนย์มากกว่าห้า ดังนั้นตัวเลือกแรกคือ "บางสิ่ง" 5 + 5_x_ ใหญ่กว่า 5

นั่นคือ: 5 + 5_x_> 5

นั่นคือสถานการณ์ที่ถูกจัดการด้านบนในขั้นตอนที่ 2

ตอนนี้คิดเพิ่มเติมอีกหน่อย มีอะไรอีกห้าหน่วยจากศูนย์? ทีนี้ลบห้าคือ และสิ่งใดต่อไปตามเส้นจำนวนจากลบห้าจะยิ่งไกลออกไปจากศูนย์ ดังนั้น "บางอย่าง" ของเราอาจเป็นจำนวนลบซึ่งอยู่ห่างจากศูนย์มากกว่าลบห้า นั่นหมายความว่ามันจะเป็นตัวเลขที่ฟังดูใหญ่กว่า แต่ในทางเทคนิคแล้ว น้อยกว่า ลบห้าเพราะมันเคลื่อนที่ไปในทิศทางลบบนเส้นจำนวน

ดังนั้น "บางอย่าง" 5 + 5x ของเราอาจน้อยกว่า −5

5 + 5_x_ <−5

วิธีที่รวดเร็วในการทำพีชคณิตนี้คือการคูณปริมาณในอีกด้านหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกัน, 5, โดยลบ, แล้วพลิกสัญลักษณ์ความไม่เท่าเทียมกัน:

| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5

แล้วค่อยแก้ตามปกติ

5 + 5_x_ <-5

5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (ลบ 5 จากทั้งสองด้าน)

5_x_ <−10

5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)

x < −2.

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาสองอย่างที่เป็นไปได้สำหรับความไม่เท่าเทียมกันคือ x > 0 หรือ x <−2 ตรวจสอบตัวเองด้วยการเสียบเข้ากับโซลูชั่นที่เป็นไปได้สองสามข้อเพื่อให้แน่ใจว่าความไม่เท่าเทียมยังคงเป็นจริง

ความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์โดยไม่มีวิธีแก้ไข

มีสถานการณ์ที่จะมี ไม่มีวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมของค่าสัมบูรณ์. เนื่องจากค่าสัมบูรณ์มีค่าเป็นบวกอยู่เสมอจึงไม่สามารถเท่ากับหรือน้อยกว่าจำนวนลบ

ดังนั้น x | <−2 มี ไม่มีทางออก เพราะผลลัพธ์ของนิพจน์ค่าสัมบูรณ์ต้องเป็นค่าบวก

เครื่องหมายช่วงเวลา

เมื่อต้องการเขียนวิธีแก้ปัญหาให้กับตัวอย่างหลักของเราใน สัญกรณ์ช่วงเวลาลองคิดดูว่าวิธีแก้ปัญหามีลักษณะอย่างไรในเส้นจำนวน ทางออกของเราคือ x > 0 หรือ x <−2 บนบรรทัดตัวเลขนั่นคือจุดเปิดที่ 0 โดยมีบรรทัดที่ขยายออกไปเป็นค่าบวกบวกและจุดเปิดที่ −2 โดยมีบรรทัดที่ขยายออกไปเป็นลบอนันต์ วิธีการแก้ปัญหาเหล่านี้ชี้ให้ห่างจากกันและกันไม่ไปหากันดังนั้นควรแยกแต่ละชิ้น

สำหรับ x> 0 บนบรรทัดตัวเลขให้มีจุดเปิดที่ศูนย์และจากนั้นบรรทัดจะขยายออกไปเป็นอนันต์ ในสัญกรณ์ช่วงเวลาจุดเปิดจะแสดงด้วยวงเล็บ () และจุดปิดหรืออสมการที่มี≥หรือ≤จะใช้เครื่องหมายวงเล็บ ดังนั้นสำหรับ x > 0, เขียน (0, ∞)

อีกครึ่งหนึ่ง x <−2 บนบรรทัดตัวเลขเป็นจุดเปิดที่ −2 จากนั้นลูกศรจะขยายไปจนถึง −∞ ในสัญกรณ์ช่วงเวลานั่นคือ (−∞, −2)

"หรือ" เครื่องหมายสัญลักษณช่วงเป็นสัญญาณยูเนี่ยน, ∪

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาในช่วงสัญกรณ์คือ (−∞, −2) ∪ (0, ∞)