วิธีการหาค่าผกผันของฟังก์ชัน

เนื้อหา

• TL; DR (ยาวเกินไปไม่ได้อ่าน)
• ฟังก์ชั่นที่กำหนด
• วิธีการของพีชคณิตสำหรับฟังก์ชันผกผัน
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
• กราฟของฟังก์ชั่นและผกผัน

ในการค้นหาฟังก์ชันผกผันในคณิตศาสตร์คุณต้องมีฟังก์ชันก่อน สามารถเป็นชุดการดำเนินการใด ๆ สำหรับตัวแปรอิสระ x ที่ให้ค่าสำหรับตัวแปรที่ขึ้นต่อกัน y โดยทั่วไปหากต้องการกำหนดค่าผกผันของฟังก์ชันของ x ให้แทนที่ y สำหรับ x และ x สำหรับ y ในฟังก์ชันจากนั้นจึงแก้หา x

TL; DR (ยาวเกินไปไม่ได้อ่าน)

โดยทั่วไปหากต้องการหาค่าผกผันของฟังก์ชัน x ให้แทนที่ y สำหรับ x และ x สำหรับ y ในฟังก์ชันแล้วแก้หา x

ฟังก์ชั่นที่กำหนด

นิยามทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันคือความสัมพันธ์ (x, y) ซึ่งมีเพียงค่าเดียวของ y ที่มีอยู่สำหรับค่าใด ๆ ของ x ตัวอย่างเช่นเมื่อค่าของ x คือ 3 ความสัมพันธ์คือฟังก์ชันถ้า y มีเพียงค่าเดียวเช่น 10 ค่าผกผันของฟังก์ชันใช้ค่า y ของฟังก์ชันดั้งเดิมเป็นค่า x ของตัวเองและสร้างค่า y นั่นคือค่า x ของฟังก์ชันดั้งเดิม ตัวอย่างเช่นหากฟังก์ชั่นดั้งเดิมคืนค่า y 1, 3 และ 10 เมื่อตัวแปร x มีค่า 0, 1 และ 2 ฟังก์ชันผกผันจะคืนค่า y 0, 1 และ 2 เมื่อตัวแปร x มีค่า 1 3 และ 10 โดยพื้นฐานแล้วฟังก์ชันผกผันจะสลับค่า x และ y ของต้นฉบับ ในภาษาคณิตศาสตร์ถ้าฟังก์ชันดั้งเดิมคือ f (x) และค่าผกผันคือ g (x) ดังนั้น g (f (x)) = x

วิธีการของพีชคณิตสำหรับฟังก์ชันผกผัน

ในการหาค่าผกผันของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสองตัวคือ x และ y ให้แทนที่คำ x ด้วย y และคำ y ด้วย x และแก้หา x ยกตัวอย่างเช่นใช้สมการเชิงเส้น, y = 7x - 15

y = 7x - 15 ฟังก์ชั่นดั้งเดิม
x = 7y - 15 แทนที่ y ด้วย x และ x ด้วย y
x + 15 = 7y - 15 + 15 เพิ่ม 15 ทั้งสองข้าง
x + 15 = 7y ลดความซับซ้อน
(x + 15) / 7 = 7y / 7 หารทั้งสองข้างด้วย 7
(x + 15) / 7 = y ทำให้ง่ายขึ้น

ฟังก์ชั่น (x + 15) / 7 = y เป็นค่าผกผันของต้นฉบับ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ในการค้นหาค่าผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติมันจะต้องรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันตรีโกณมิติและค่าผกผันทั้งหมด ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการหาค่าผกผันของ y = sin (x) คุณต้องรู้ว่าค่าผกผันของฟังก์ชันไซน์คือฟังก์ชันอาร์คไซน ไม่มีพีชคณิตง่าย ๆ ที่จะพาคุณไปโดยไม่มีอาร์คซิน (x) ฟังก์ชันตรีโกณอื่น, โคไซน์, แทนเจนต์, โคเซแคนต์, ซีแคนต์และโคแทนเจนต์มีฟังก์ชันอินเวอร์สอาร์คโคซีน, อาร์คแทนเจนต์, อาร์คแทนเจนต์, อาร์คคอสแคนต์และอาร์กโคแทนเจนต์ตามลำดับ ตัวอย่างเช่นค่าผกผันของ y = cos (x) คือ y = arccos (x)

กราฟของฟังก์ชั่นและผกผัน

กราฟของฟังก์ชั่นและค่าผกผันของมันน่าสนใจ เมื่อคุณพล็อตเส้นโค้งทั้งสองแล้วลากเส้นตรงกับฟังก์ชั่น y = x คุณจะสังเกตเห็นว่าเส้นนั้นปรากฏเป็น“ มิเรอร์” เส้นโค้งหรือเส้นใด ๆ ด้านล่าง y = x คือ“ สะท้อน” สมมาตรด้านบน นี่เป็นความจริงสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ ไม่ว่าจะเป็นพหุนาม, ตรีโกณมิติ, เอ็กซ์โปแนนเชียลหรือเชิงเส้น การใช้หลักการนี้คุณสามารถอธิบายการผกผันของฟังก์ชันโดยการทำกราฟฟังก์ชันต้นฉบับวาดเส้นที่ y = x แล้ววาดเส้นโค้งหรือเส้นที่จำเป็นในการสร้าง "ภาพสะท้อน" ที่มี y = x เป็นแกนของ สมมาตร.